马尔可夫链蒙特卡洛

马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）是蒙特卡洛方法的重要进阶演化，通过构建一条马尔可夫链，使其平稳分布等于目标分布，从而在目标分布的高概率区域进行高效采样。

解决的问题

经典蒙特卡洛方法在全局均匀采样，当目标分布在高维空间中只占据极小体积时，采样效率极低。MCMC通过"有记忆的探险家"策略，自动聚焦于高概率（有价值）区域，同时偶尔探索低概率区域以防陷入局部死胡同。

核心算法：Metropolis-Hastings

Metropolis-Hastings算法是MCMC的经典实现，其核心机制为：

1. 从当前位置随机向周围迈出一步（提出候选点）
2. 如果新位置的概率密度更高，百分之百接受
3. 如果新位置的概率密度更低，以一定概率接受（允许"退步"）

这种机制在数学上由**细致平稳条件（Detailed Balance）**保证，确保马尔可夫链的平稳分布等于目标分布。

应用

• 贝叶斯统计中的后验分布计算
• 机器学习中的模型参数推断
• 计算物理学中的系统模拟
• 计算生物学中的进化分析

关联

• [[蒙特卡洛方法]] — 基础方法
• [[Metropolis-Hastings算法]] — 核心算法
• [[细致平稳条件]] — 数学保证
• [[大数定律]] — 理论基础