大数定律

大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的基本定理，描述了随机试验次数足够多时，样本平均值依概率收敛于数学期望的现象。它是蒙特卡洛方法有效性的数学保证。

核心内容

当独立同分布的随机变量序列X₁, X₂, …, Xₙ的期望值E[X]存在时，样本均值(X₁+X₂+…+Xₙ)/n随着n增大而趋近于E[X]。这意味着，通过大量重复随机试验，我们可以用经验频率来逼近真实概率。

在蒙特卡洛方法中的作用

大数定律保证了蒙特卡洛方法的收敛性：只要随机采样次数足够多，蒙特卡洛估计值就会无限逼近真实值。例如，在估算π的"扔飞镖"例子中，落在圆内的飞镖比例随着投掷次数增加而趋近于π/4。

关联

• [[蒙特卡洛方法]] — 数学基石
• [[马尔可夫链蒙特卡洛]] — 理论基础